Unidade 1
Princípios de Hidrostática

Tema 1 - Princípios de Hidrostática

Neste tema, iremos aprofundar nossos conhecimentos em hidrostática, parte da física responsável pelo estudo dos fluidos em repouso e como estes reagem sob a aplicação de uma força. Podemos definir fluido como uma substância capaz de fluir, ou seja, escoar. Devido a esta propriedade, um fluido pode assumir a forma do recipiente que o contém, em outras palavras, um fluido não possui forma própria.

Um fluido é um sistema macroscópico formado por um grande número de partículas. São exemplos de fluidos os gases e os líquidos, sendo este último nosso objeto de interesse. Os gases possuem moléculas distanciadas entre si, o que os torna compressíveis; seu volume pode aumentar ou diminuir. Já os líquidos, por conta de seu arranjo molecular, com moléculas bem próximas umas das outras, são praticamente incompressíveis. Como consequência disso, ao colocar um gás em um recipiente, ele irá expandir e ocupar o volume total do recipiente. Mas, ao colocar um líquido em um recipiente, ele ocupará apenas o volume correspondente ao seu volume inicial. A força de ligação entre as moléculas do líquido as mantém tão perto quanto podem estar, mas não é capaz de impedir o escorregamento entre elas.

Massa Específica ou Densidade

Um sistema macroscópico, como um fluido, por exemplo, pode ser caracterizado por seu volume V, que é basicamente o espaço ocupado por ele. São diversas as unidades de medida de volume utilizadas, sendo cm³, m³ e litros (L) as mais comuns.

Em nossos cálculos, será necessário convertê-las para m³, que é a unidade do SI (sistema internacional). A Figura 1 é um esquema que demonstra os modos de conversão de unidades de volume:

Para fazer a conversão entre L (litros) e m³, pode-se utilizar a seguinte relação:

1000L = 1m³

A massa específica, representada pela letra ρ, também é um parâmetro utilizado para caracterizar um sistema e pode ser definida como a razão entre a quantidade de massa de uma substância pelo volume ocupado por ela. A massa específica, ou densidade, é então dada pela seguinte expressão matemática:

1 g/cm³ = 1000 kg/m³.

Ou seja, basta multiplicar por 1000 para converter de 1 g/cm³ para 1000 kg/m³.

A seguir, temos um exemplo de cálculo de densidade:

Um certo líquido de massa igual a 8 g ocupa um volume de 10 cm³. Calcule a densidade desse líquido em kg/m³.

Nesse caso, iremos, primeiramente, aplicar a equação de cálculo de densidade e substituiremos os valores de massa e volume dados no enunciado do problema:

$\begin{aligned} \rho & =\frac{m}{v} \\ \rho=\frac{8}{10} & =0,8 \frac{\mathrm{~g}}{\mathrm{~cm}^3}\end{aligned}$

Agora, realizaremos a transformação da unidade de medida multiplicando por 1000:

$\rho=0,8 \frac{\mathrm{~g}}{\mathrm{~cm}^3} \cdot 1000=800 \frac{\mathrm{~kg}}{\mathrm{~m}^3}$

A temperatura e a pressão podem influenciar na densidade dos corpos. A Tabela 1 e a Tabela 2 trazem os valores de densidade, em kg/m³, de importantes substâncias puras à temperatura de 0^oC e pressão de 1 atm.

A densidade é um dos fatores que influencia a flutuabilidade de um corpo em um líquido. Para que haja flutuação, é necessário que o corpo tenha uma densidade inferior à densidade do líquido onde está imerso.

Ao colocarmos líquidos imiscíveis (aqueles que não se misturam) dentro de um recipiente, após atingirem o equilíbrio, percebemos que o líquido mais denso se localiza no fundo do recipiente, enquanto o menos denso fica acima. Esse fenômeno pode ser percebido facilmente em nosso cotidiano: basta acrescentar delicadamente em um recipiente, água e óleo; em alguns instantes a mistura estará em equilíbrio e será possível perceber claramente que o óleo, por ser menos denso que a água, se localizará na parte superior do recipiente, enquanto a água irá para o fundo.

Pressão

A habilidade de escoamento de um fluido impede que um líquido consiga sustentar uma força paralela à sua superfície. Assim, em fluidos em repouso, a única força relevante é aquela que atua perpendicularmente à superfície do fluido, chamada de força normal.

A pressão pode ser definida como a intensidade da força normal dividida pela área da superfície onde essa força atua e pode ser expressa a partir da seguinte relação matemática:

$P=\frac{F}{A}$

Como a pressão, por sua definição, possui dimensões de força pela área, sua unidade de medida N/m², mas, no sistema internacional (SI), sua unidade de medida é Pascal (Pa), definida como:

1 Pa = 1 N/ m2

A Figura 3 mostra como um fluido exerce pressão contra uma pequena área A por meio de uma força, o que faria o líquido jorrar lateralmente caso houvesse um orifício na parede do recipiente, como ilustra a Figura 4.

A seguir, temos um exemplo de cálculo de pressão exercida por uma massa de água.

Princípio de Arquimedes

Arquimedes foi um dos maiores matemáticos, físicos e engenheiros da Grécia Antiga. Viveu aproximadamente entre 287 a.C. e 212 a.C. e é amplamente reconhecido por suas contribuições fundamentais para a matemática e a ciência.

A Figura 6 ilustra um volume de um líquido envolvido por um fino saco plástico que está submerso em água. Esse volume de líquido está em equilíbrio estático, ou seja, seu peso, que é uma força vertical apontando para baixo, está sendo equilibrado por uma força de mesma intensidade e direção, apontando para cima. A água em torno do fluido no invólucro, por conta da pressão que exerce, resulta em forças atuando sobre o volume do líquido, representadas por setas na figura.

Na parte inferior do saco com água, é possível ver que as setas direcionadas para cima são maiores do que as setas que apontam para baixo na parte superior. Isso indica que as forças que atuam na superfície inferior do saco com líquido são maiores, o que é resultado do aumento de pressão que ocorre em maiores profundidades. Essa força apontando para cima e que surge sobre corpos imersos é chamada de empuxo (E).

A pressão na superfície de objetos exercida pelo líquido ao seu redor não dependerá do material que constitui o objeto. Sendo assim, se substituíssemos o saco com água por um pedaço de madeira de mesma forma e dimensões idênticas, a força de empuxo não seria alterada. Com isso, podemos concluir que o empuxo ainda seria igual ao peso do volume original do saco com água. Assim, chegamos ao princípio de Arquimedes, que diz que “Um corpo total ou parcialmente imerso em um fluido é sustentado por uma força cuja intensidade é igual ao peso do fluido deslocado pelo corpo” (Halliday; Resnick; Krane, 2017, p. 45).

O princípio de Arquimedes pode ser dado a partir da equação:

$E=\rho_L \cdot V_L \cdot g$

Em que ρ_L é a massa específica (ou densidade) do líquido, V_L é o volume de líquido deslocado, e g é a gravidade no local.

Corpos densos concentram mais massa por unidade de volume, ou seja, possuem grande massa ocupando um pequeno espaço. Tendo isso em mente, compreenda que, se um objeto submerso na água possui densidade maior que a da água (Figura 6b), o volume de líquido deslocado terá um peso menor que o peso do objeto. Como resultado, o objeto afundará, pois o empuxo será menor que o peso do objeto.

Podemos ir além com essa ideia: se colocássemos uma balança no fundo do recipiente com água e sobre ela o objeto submerso, a balança indicaria a presença de uma força para cima atuando sobre o objeto. Essa força é a resultante das forças atuantes sobre o objeto, dada por P - E (Peso menos Empuxo). É por essa razão que corpos submersos aparentam pesar menos do que pesam fora do líquido.

Se um objeto possui densidade menor que a da água (Figura 6c), ele também ficará sujeito a uma força vertical para cima. No entanto, o peso do objeto será inferior ao peso do fluido deslocado. Isso fará com que o objeto suba até a superfície, de modo que a porção do objeto que permanece submersa possua o volume necessário para deslocar uma quantidade de água com peso equivalente ao peso total do objeto. Neste caso, o corpo flutuará em equilíbrio.

Como é possível, então, saber se um corpo flutua ou afunda? Note as condições para a ocorrência de três situações possíveis dispostas na figura a seguir:

Agora, teremos uma aplicação da equação de empuxo em um problema.

Por exemplo: um corpo de massa igual a 10 kg foi posto em um reservatório com água até ficar totalmente imerso. Sabendo que a força de empuxo e o peso do corpo estão em equilíbrio, qual seria o volume de água deslocado pelo corpo? Dados: massa específica da água ρ_L = 1000 kg/m³.

Partiremos da igualdade P = E, já que essas forças estão em equilíbrio:

$\begin{array}{r}P= \\ m \cdot g=\rho \\ m=\rho \\ 10=10\end{array}$

Neste tema, estudamos alguns importantes princípios da hidrostática, como a definição de fluido, substâncias cujas moléculas têm grande mobilidade e, por isso, são capazes de fluir. Fluidos adquirem a forma do recipiente onde são confinados, e percebemos que tanto os líquidos quanto os gases pertencem a essa categoria.

Abordamos que a densidade pode ser entendida como a quantidade de massa contida em um volume, referindo-se a uma característica de um corpo, enquanto a massa específica é uma característica da substância. Estudamos também que a pressão é uma grandeza escalar, fornecida pela razão entre a força e a área onde essa força se aplica.

Por fim, conhecemos o princípio de Arquimedes, que nos garante que um corpo imerso em um fluido está sujeito a uma força vertical, que sempre aponta para cima, chamada de força de empuxo. Vale lembrar que a força de empuxo equivale ao peso do líquido deslocado, sendo uma grandeza vetorial, e, por ser uma força, sua unidade de medida no SI é o newton (N).

Tema 2 - O Princípio de Pascal e o Teorema de Stevin

Neste tema, conheceremos o teorema de Stevin, também conhecido como Lei Fundamental da Hidrostática. Esse importante teorema relaciona a pressão atmosférica com a pressão exercida por um líquido e mostra como a pressão hidrostática varia de acordo com o aumento da profundidade no interior do fluido. Estudaremos como esse estudo contribuiu grandemente para o avanço da hidrostática.

Abordaremos a contribuição do teorema de Stevin na explicação dos vasos comunicantes, onde os fluidos apresentam a mesma altura da coluna de líquido, independente da forma dos recipientes. Esse teorema também contribuiu para o princípio de Pascal, no qual nos aprofundaremos, descobrindo como ele foi responsável pelo avanço no desenvolvimento de dispositivos hidráulicos.

Por fim, estudaremos por que a atuação da pressão exercida pelo ar atmosférico é tão relevante, e definiremos os conceitos de pressão atmosférica, pressão absoluta e pressão manométrica. Encerraremos conhecendo as principais unidades de medida de pressão utilizadas.

O Teorema de Stevin

A aceleração da gravidade atrai os fluidos para a região mais funda dos recipientes, então é coerente pensarmos que a pressão em um líquido é, em sua maior parte, resultado da atuação gravitacional. Analisaremos fluidos em repouso a fim de determinar a pressão em uma profundidade h, medida a partir da superfície do líquido. Para isso, vamos considerar um fluido homogêneo de densidade ρ que se encontra em repouso em um reservatório e supor que pudéssemos visualizar uma parte desse fluido sob a forma de um cilindro, como mostra a Figura 8. Este cilindro se origina na superfície do líquido e vai até a profundidade h. Ele também está em repouso, ou seja, a resultante das forças sobre o cilindro é nula.

Em relação às forças atuantes sobre o cilindro de líquido, temos: a força gravitacional ou força peso (m.g) apontando para baixo, a força F₁ = P₀. A, também orientada para baixo, devida à pressão P₀ na superfície do líquido e à força F₂ = P. A, orientada para cima, devida à pressão P exercida pelo líquido na parte inferior do cilindro. A pressão P que atua na parte inferior do cilindro é exatamente o que precisamos determinar.

Como a coluna de líquido está em equilíbrio, sabemos que as três forças que atuam sobre ela, quando somadas, têm resultado nulo. Em outras palavras, a força F₂ que aponta para cima equilibra a força peso (m.g) e a força F_1, que apontam para baixo. Matematicamente, temos:

F₂ = F₁ + m.g

Da equação da densidade vista no tema anterior, temos que a massa do cilindro é dada por m=ρ.V e o volume 𝑉 V é o produto da área da base 𝐴 A pela altura h, logo: m=ρ.A.h. Voltando à equação das forças sobre o cilindro e fazendo as devidas substituições, temos:

P.A = P₀.A + ρ.A.h.g

Como a área A é cancelada em todos os termos, temos como expressão da pressão P na profundidade h:

P = P₀ + ρ.h.g

A pressão P dada pela expressão acima é chamada de Pressão Hidrostática, em que ρ é a densidade do líquido.

A equação da pressão hidrostática pode ainda ser escrita da seguinte forma:

P - P₀ = ρ.h.g

A diferença de pressão P – P₀ é chamada de variação de pressão (∆P).

O que nos leva ao Teorema de Stevin, também conhecido como Lei Fundamental da Hidrostática: “A diferença de pressão entre dois pontos de um fluido em equilíbrio é igual ao produto da massa específica do fluido pela diferença de nível entre os pontos considerados e pela aceleração da gravidade” (Telles; Mongelli Netto, 2013, p.127). Podemos constatar que a pressão hidrostática depende da densidade do fluido, da aceleração da gravidade no local e da profundidade h, além da pressão no nível de referência.

A partir da equação da hidrostática, podemos chegar a uma importante conclusão: em um líquido homogêneo e incompressível, a pressão aumenta com a profundidade.

O Teorema de Stevin implica, para fluidos em repouso, que a pressão é a mesma em dois pontos de um líquido que estão em um mesmo nível, ou seja, a mesma profundidade. A Figura 9 ilustra três pontos de um fluido que se encontram no mesmo nível e que, por consequência, estão sujeitos à mesma pressão.

O Teorema de Stevin se aplica ao caso dos vasos comunicantes, um conjunto de recipientes que são interligados e que podem ter diferentes formatos e tamanhos. Mesmo que, separadamente, cada reservatório tenha uma capacidade própria, ao preencher esses vasos com um fluido, a altura da coluna de líquido será exatamente a mesma para todos os recipientes, como mostra a Figura 10. Podemos explicar esse fenômeno pelo Teorema de Stevin, que conclui que a pressão em um ponto de um fluido independe da forma do recipiente que o contém, mas depende apenas da profundidade do ponto.

O Princípio de Pascal

Uma outra consequência do Teorema de Stevin foi o Princípio de Pascal, que afirma que um aumento de pressão exercido em um ponto de um fluido incompressível se transmite integralmente a todos os outros pontos do líquido. O Princípio de Pascal nos permite compreender o funcionamento de diversos dispositivos que utilizam líquidos, geralmente óleos, em seu funcionamento, como elevadores para automóveis, prensas hidráulicas e freios de carros.

Podemos perceber um esquema de uma máquina hidráulica na Figura 11. Essa máquina consiste em um cilindro de área A₁ e um pistão móvel, onde se aplica uma força F₁. É possível perceber um segundo pistão de área A₂, que se comunica com o pistão 1 e sofre atuação de uma força F₂.

Quando se aplica a força F₁, ocorre um aumento de pressão F₁/A₁ no fluido, que se transmite a todos os pontos do líquido, inclusive à área A2, que fica sujeita a uma pressão F₂/A₂. Essas pressões se igualam em uma situação de equilíbrio, resultando na equação a seguir:

De forma análoga, funcionam os elevadores hidráulicos, como os utilizados para levantar automóveis em oficinas. Esse dispositivo oferece grande vantagem mecânica, já que multiplica a força aplicada. Para erguer um veículo que exerce uma força peso, resultado de sua massa multiplicada pela gravidade, sobre o pistão 2, é necessário exercer uma força muito menor no pistão 1, conforme ilustra a Figura 12. Em termos mais simples, uma pequena força atuando no pistão menor pode sustentar um automóvel porque tanto a força F₁ quanto a F₂ exercem a mesma pressão no fluido.

Podemos explicar o funcionamento do elevador hidráulico a partir da Terceira Lei de Newton. A força maior F₂ empurra o líquido para baixo, e o líquido, por sua vez, empurra o objeto pesado para cima. Teremos, a seguir, um exemplo de aplicação prática do princípio de Pascal.

Pressão Manométrica, Barômetros e Unidades de Pressão

A pressão P da equação da hidrostática também é conhecida como pressão absoluta, pois inclui a pressão exercida pelo líquido (pressão hidrostática) e a pressão exercida pela massa de ar acima dele, a pressão atmosférica. Mas seria a pressão do ar, que nem percebemos, tão relevante assim? As dimensões da atmosfera da Terra não se comparam às de um recipiente de laboratório. A imensa altura da atmosfera terrestre é o que torna importante a contribuição gravitacional à pressão, ou seja, o peso da massa de ar está associado a uma grande pressão.

À medida que a altura aumenta, a densidade do ar diminui até que chega a zero nas regiões de vácuo do espaço, o que nos leva à conclusão de que a pressão atmosférica diminui com o aumento da altitude, como mostra a Figura 13.

Na região 1 da Figura 13, percebemos que a pressão e a densidade são maiores próximo à superfície terrestre. Na região 2, a pressão e a densidade diminuem devido à gravidade, até que, na região 3, nas regiões do espaço sideral, pressão e densidade são próximas de zero.

Embora a pressão atmosférica ao nível do mar possa variar de acordo com o clima, a pressão atmosférica média global é aproximadamente 101300P a, então, a atmosfera padrão é definida como 1 atm ≡ 101300 Pa = 101,3 KPa. Por uma questão de simplificação, adotaremos a pressão do ar como ρ_ar = 1 atm. Considere um exemplo simples, mas capaz de mostrar a pressão exercida pelo ar em um cômodo.

Medidores de pressão que utilizam a pressão atmosfera como referência são chamados de manômetros, esses dispositivos medem a diferença entre a pressão real e a pressão atmosférica.

O barômetro é um aparelho simples e bastante utilizado na medição da pressão. Esse dispositivo consiste apenas em um longo tubo de vidro, com uma extremidade aberta e outra fechada, preenchido com mercúrio. A extremidade aberta é colocada em um recipiente com mercúrio, conforme a Figura 14.

A parte superior à coluna de mercúrio tem uma pressão tão baixa que pode ser desconsiderada, enquanto a pressão medida sobre a superfície do reservatório de mercúrio é a pressão P que se deseja medir, dada pela equação:

P = ρ.g.h

A conclusão é que, medindo a altura da coluna de mercúrio acima da superfície do recipiente, obtemos a pressão desejada.

Se a superfície do recipiente com mercúrio estiver sujeita à pressão atmosférica (1 atm), utilizando-se o valor padrão para a gravidade, à temperatura de 0^oC, então, a altura da coluna de mercúrio é 760 mm. Sendo assim, consideramos que 1 atm = 760 mm de Hg.

Os experimentos com barômetros realizados por Torricelli e Pascal foram os primeiros a mostrar que era possível produzir um vácuo no pequeno volume acima da coluna de mercúrio, como mostra a Figura 14. Isso trouxe avanços para a engenharia, permitindo, no fim do século XVII, a construção da primeira bomba a vácuo.

A pressão pode ser expressa em diferentes unidades de medida, por questões históricas. Ao longo dos anos, diversos cientistas e engenheiros, que trabalhavam com diferentes tipos de fluidos em baixas ou altas pressões, desenvolveram unidades convenientes. Essas unidades são utilizadas até hoje, e é importante que estejamos familiarizados com as conversões entre elas. A Tabela 3 contém as principais conversões básicas de unidades de pressão:

Assim, as principais conversões básicas de unidades de pressão envolvem a troca entre diferentes sistemas de medida. A unidade mais comum no Sistema Internacional de Unidades (SI) é o pascal (Pa), mas há outras unidades frequentemente usadas, como o bar, que é igual a 100.000 pascais (ou 10⁵ Pa), e o milibar (mbar), que corresponde a 100 pascais. Essas e as demais conversões são fundamentais em diversas áreas, como a meteorologia, a engenharia e a física, para facilitar a comunicação e garantir a precisão nos cálculos e medições de pressão.

Neste tema, estudamos o Teorema de Stevin e como ele demonstrou que a pressão no interior de um líquido aumenta à medida que a profundidade aumenta. Estudamos que a pressão em um ponto no interior do líquido é resultado da soma da pressão atmosférica com a pressão exercida pelo próprio líquido. Abordamos as principais aplicações do Teorema de Stevin, como os vasos comunicantes, e analisamos o Princípio de Pascal, que demonstra como um aumento de pressão aplicado em um ponto de um fluido é transmitido a todos os outros pontos do fluido.

Finalmente, definimos a pressão atmosférica como a pressão exercida pelo ar, a pressão hidrostática como a pressão exercida por um fluido e a pressão absoluta como a soma de ambas. Também estudamos a pressão manométrica, que é a diferença entre a pressão real e a pressão atmosférica, e analisamos as diferentes unidades de medida de pressão e suas utilizações.

Tema 3 - Equação da Continuidade e Equação de Bernoulli

Neste tema, analisaremos o comportamento de fluidos em movimento, sejam eles gases ou líquidos; iniciaremos, então, um estudo de hidrodinâmica, ou dinâmica dos fluidos. Essa área de estudo é fundamental para a ciência, engenharia e tem aplicação até mesmo em medicina.

Definiremos um conceito de suma importância para tornar mais acessível a complexa análise de fluidos em escoamento: o conceito de fluido ideal. Também analisaremos como a velocidade de escoamento de um fluido varia de acordo com as diferentes áreas das seções transversais de uma tubulação por onde o fluido escoa. A relação entre essas variáveis será dada pela equação da continuidade, que expressa a lei da conservação da massa e nos permite chegar a uma relação matemática capaz de expressar a vazão volumétrica, ou seja, a quantidade de fluido que atravessa uma determinada seção.

Por fim, analisaremos e aplicaremos a equação de Bernoulli, que é baseada na lei da conservação da energia e que também possui vasta aplicação na física e na engenharia, relacionando a velocidade de escoamento com a pressão.

Fluido Ideal e Tipos de Fluxo

Nesta etapa de nossos estudos, analisaremos o movimento dos fluidos. Alguns exemplos de fluidos em movimento são o vento soprando, as corredeiras em uma cachoeira ou até mesmo o petróleo que esguicha em um poço. O movimento de fluidos reais é algo bastante complexo e frequentemente requer técnicas numéricas e computacionais não tão simples para descrever as quantidades relacionadas a esse movimento. Aspectos do movimento dos fluidos, como a turbulência e os redemoinhos, ainda não foram completamente compreendidos; a área da física que estuda esses fenômenos é a Dinâmica dos Fluidos. Esse tema complexo está presente em pesquisas atuais de ciências e engenharia.

Para facilitar nosso estudo, utilizaremos o modelo simplificado de fluido, ou seja, estudaremos apenas o movimento dos fluidos ideais, que podem ser tratados de formas mais simples, mas ainda assim fornecem resultados relevantes e interessantes. Esse modelo simplificado, embora imperfeito, é capaz de fornecer uma boa descrição do escoamento dos fluidos, eliminando detalhes desnecessários, mas captando a essência do fluxo dos fluidos.

Antes de tratar das hipóteses que formulam o modelo de fluido ideal, vamos considerar algumas características gerais do escoamento de um fluido:

Agora que definimos alguns princípios básicos, vamos à definição de fluido ideal. Pode-se perceber que o movimento de um fluido ideal é estacionário, não viscoso, incompressível e irrotacional.

A fumaça subindo na Figura 16 começa como um fluxo laminar, em que todos os pontos do fluido possuem a mesma velocidade constante. No entanto, em determinado ponto, ocorre a transição para um fluxo turbulento, caracterizado por mudanças aleatórias na velocidade e formação de vórtices.

As águas tranquilas de um rio são um exemplo de fluxo laminar (Figura 17a), enquanto a queda d’água de uma cachoeira (Figura 17c) representa um fluxo turbulento. Como vimos, a fumaça é um exemplo de transição entre o fluxo laminar e o turbulento (Figura 17b).

Linhas de Corrente e a Equação da Continuidade

Vamos supor que pudéssemos observar um ponto P pertencente a um fluido ideal durante seu escoamento. Como esse movimento é estacionário, a velocidade do ponto não irá variar com o tempo, e toda e qualquer partícula do fluido que passar por P terá uma velocidade idêntica à de P em intensidade, direção e sentido. O vetor velocidade de qualquer ponto do fluido será sempre tangente à linha de corrente. Dessa forma, as partículas do fluido que passam por P seguem a mesma linha contínua, denominada Linha de Corrente.

A Figura 18 ilustra três pontos consecutivos de nosso fluido hipotético:

Uma partícula do fluido que passa por P passará em seguida pelos pontos sucessivos Q e R da linha de corrente. Se uma partícula passou por R, definitivamente, passou por P e Q.

A Figura 19 mostra uma interessante aplicação dos conceitos de linhas de corrente. Os engenheiros utilizaram fumaça, caracterizada por um escoamento laminar – percebido pela suavidade e definição do fluxo – para visualizar o fluxo de ar em torno de um veículo colocado em um túnel de vento. As trajetórias não se misturam nem se cruzam; cada trajetória observada é uma linha de corrente do fluido.

Quando se tem um feixe de linhas de corrente vizinhas, essa configuração é chamada de tubo de corrente, como mostra a Figura 20. Vale ressaltar que, como os contornos de um tubo de corrente são formados por linhas de corrente, nenhum fluido pode cruzar os contornos do tubo. Os tubos de corrente são relevantes para nosso estudo, pois se comportam como se fossem uma tubulação com o mesmo formato.

Como as linhas de corrente nunca se cruzam, os fluidos que entram em P e passam pela área da seção transversal A₁ saem em Q e passam pela área A₂. Agora, vamos considerar que um fluido ideal se desloque em um tubo de escoamento com áreas de seções transversais diferentes (Figura 20). O fluido escoa inicialmente pela área A₁ com velocidade de escoamento v₁ e, posteriormente, o fluido escoa pela área A₂ com velocidade v₂. O volume de líquido que entra na tubulação por unidade de tempo precisa ser igual ao volume de líquido que sai dela, uma vez que o fluido é incompressível.

O volume de líquido por unidade de tempo que passa pela seção A₁ pode ser dado por:

$\frac{\Delta V}{\Delta t}=A_1 V_1$

Analogamente, o volume de líquido por unidade de tempo que passa pela seção A₂ pode ser dado por:

$\frac{\Delta \mathrm{V}}{\Delta \mathrm{t}}=\mathrm{A}_2 \mathrm{~V}_2$

Como o fluido não pode ser criado nem destruído dentro do tudo e não há vazamentos, o volume de fluido ideal por unidade de tempo que entra no tubo deve se igualar ao volume de fluido ideal por unidade de tempo que sai do tubo. Em termos simplificados, a quantidade de fluido que entra na tubulação deve ser igual à quantidade de fluido que sai da tubulação. E, assim, chegamos à equação da continuidade:

A₁.v₁ = A₂.v₂

Em que A₁ e A₂ são as áreas de seção transversal do tubo, e v₁ e v₂ são as respectivas velocidades do fluido ao passar por estas áreas. Esse resultado obtido expressa a lei da conservação da massa na dinâmica dos fluidos.

A vazão volumétrica, ou seja, o volume de fluido que passa por uma seção transversal A, é constante e pode ser escrita como:

Q = A.v

Em que v é a velocidade de escoamento do fluido quando passa pela seção A.

O fato de a vazão volumétrica ser constante ao longo de um tubo de corrente implica em uma importante interpretação sobre essas linhas. Na parte mais estreita da tubulação, percebemos as linhas de corrente mais próximas umas das outras (Figura 21), o que indica uma maior velocidade de escoamento do fluido. Em contrapartida, na parte mais larga do tubo, essas linhas estão mais afastadas, indicando que, nessa região, a velocidade do fluido é mais baixa.

A unidade de medida da vazão Q no sistema internacional é m³/s, mas não é incomum vê-la sendo expressa em cm³/s ou ainda, litros/minutos.

Vamos a alguns exemplos.

Exemplo 1: Um certo fluido escoa com velocidade v₁ = 4 m/s através de um tubo de área de seção transversal A₁ = 20 cm². Calcule a velocidade com que esse fluido sairá do outro lado do tubo que possui área A₂ = 10 cm².

Aplicaremos a equação da continuidade, dada por:

A₁.v₁ = A₂.v₂

Substituindo os valores dados pelo problema, temos:

20.4 = 10.v₂

80 = 10.v₂

v₂ = 80/10

v₂ = 8 m/s

O fluido sairá do tubo com velocidade igual a 8 m/s. Observe que, ao passar pela área final do tubo, que é metade da área inicial, a velocidade do fluido dobrou. Assim, confirmamos que a velocidade do fluido aumenta ao passar por áreas mais estreitas.

Exemplo 2: Calcule a vazão volumétrica de petróleo que passa por um oleoduto de área da seção transversal igual a 0,3 m² com velocidade de 2 m/s.

Sabemos que a vazão volumétrica é dada por:

Q = A.v

Como a área é 0,3 m² e a velocidade é 2 m/s, temos que

Q = 0,3.2

Q = 0,6 m³/s

A vazão de petróleo no oleoduto é 0,6 m³/s.

A Equação de Bernoulli

Quando um fluido ideal escoa em um tubo, suas condições podem ser alteradas pela variação na área da seção transversal do tubo. No entanto, essas condições também podem se modificar se a entrada e a saída da tubulação estiverem em níveis diferentes ou se houver diferença na pressão de entrada e saída. Sabemos que a equação da continuidade relaciona as velocidades de escoamento do fluido com a variação na área da seção transversal. Contudo, será necessário utilizar uma equação que relacione as variações de área, pressão e níveis na tubulação, já que diferenças de pressão e de nível podem acelerar um elemento do fluido.

Sendo assim, aplicaremos a lei da conservação de energia a um fluido ideal que escoa em um tubo com diferença de nível, como mostra a Figura 22.

Vamos considerar que, na parte mais baixa do tubo, o fluido, que tem densidade constante ρ, possui pressão P₁, velocidade V₁ e altura Y₁. Quando esse fluido escoa para a parte mais alta, será caracterizado por uma pressão P₂, velocidade V₂ e altura Y₂. A equação de Bernoulli relaciona as diferentes pressões e velocidades da seguinte forma:

$p_1+\frac{1}{2} \rho v_1^2+\rho g y_1=p_2+\frac{1}{2} \rho v_2^2+\rho g y_2$

Ou, ainda, para o caso de o escoamento ser estacionário, incompressível, sem viscosidade e irrotacional, a equação de Bernoulli pode ser escrita como:

$p+\frac{1}{2} \rho v^2+\rho g y=$ constante

Exemplo 3 (Adaptado de Knight, 2009, p. 44):

Considere a água que está fluindo pelos canos mostrados na Figura 8 um fluido ideal e que obedece à equação de Bernoulli. A velocidade do fluido pelo cano mais baixo é de 5,0 m/s, e um manômetro marca a pressão de 75 KPa. Qual é a leitura do manômetro no cano superior, onde o fluido passa com velocidade V₂ = 12 m/s?

Dados: g = 9,8 m/s² e ρ_água = 1000 kg/m³.

Como o problema informou que o ponto 1 está na parte mais baixa do tubo, consideremos esse ponto como o nível de referência (Y₁ = 0), aplicaremos a equação de Bernoulli e substituiremos os valores do enunciado:

87500 = P₂ + 72000 + 980

P₂ = 87500 – 72980

P₂ = 14500

P₂ = 14,5 KPa

Em comparação ao ponto mais baixo, a água passa pelo ponto mais alto da tubulação com velocidade maior e pressão menor no valor aproximado de 14,5 Kpa.

Neste tema, estudamos as hipóteses que formulam o modelo de fluido ideal e definimos esse tipo de fluido quanto ao seu escoamento, que deve ser estacionário, não viscoso, incompressível e irrotacional. Também analisamos que os tipos de fluxo dependem da velocidade e da viscosidade do fluido, sendo classificados como laminar, turbulento ou de transição entre o laminar e o turbulento.

Definimos os conceitos de linha de corrente e de tubo de corrente, que, para fins de estudo, é análogo a uma tubulação real. Analisamos a equação da continuidade, que determina que o volume de fluido que entra por uma seção da tubulação deve ser igual ao volume que sai por outra seção do tubo. Essa relação reflete a lei da conservação da massa, uma vez que o fluido não é criado nem destruído no interior dos tubos. Observamos, ainda, uma importante consequência da equação da continuidade: o fluxo possui maior velocidade ao passar por regiões mais estreitas e menor velocidade ao passar por seções mais largas.

Por fim, exploramos a equação de Bernoulli, que relaciona as pressões e velocidades de um fluido que escoa por uma tubulação com diferença de níveis, levando-nos à conclusão de que, se a velocidade de escoamento do fluido aumentar, a pressão diminuirá.

A Física nas Embarcações

Neste estudo de caso, analisaremos as razões pelas quais os navios, mesmo possuindo grande massa e dimensões enormes, são capazes de flutuar. Abordaremos como, com todo o peso que possuem, conseguem permanecer na superfície da água e não afundam diretamente. Também exploraremos como a densidade da água e a densidade média da embarcação são fatores determinantes, assim como o equilíbrio das forças atuantes, para que este fenômeno ocorra.

Considere a seguinte situação: a física hidrostática possui vasta aplicação no ramo da engenharia, especialmente nas construções de embarcações. Para compreender a estabilidade de uma embarcação, é necessário dominar os conceitos de centro de gravidade, densidade, pressão hidrostática e empuxo. O papel da hidrostática é definir o comportamento do corpo flutuante, que resulta da interação entre o peso da embarcação e as forças oriundas da água.

Os navios são exemplos de embarcações de grande porte, produzidas em madeira, ferro ou aço, e costumam ter massas de centenas de toneladas. É bastante curioso que um corpo tão "pesado" não afunde. O navio é projetado de modo que possa retornar à sua posição inicial em caso de oscilações. Isso ocorre porque seu centro de gravidade fica abaixo do centro de empuxo, gerando uma situação de equilíbrio estável. Entretanto, outros fatores também contribuem para a estabilidade de um navio.

Sabemos que a flutuação de um objeto depende de sua densidade, da densidade do líquido e do empuxo. No caso de um navio, apesar de sua grande massa, ele possui também um grande volume, o que resulta em uma densidade média menor. Além disso, o navio é capaz de deslocar um grande volume de água, contribuindo para sua flutuação.

Questionamentos para reflexão:

• Quando o navio desloca um volume de água, a água exerce alguma força sobre o navio?
Por que os navios possuem uma parte oca?
• Se os navios têm grande massa e, consequentemente, grande peso, por que não afundam?
• Se uma parte da estrutura do navio se romper, de modo que comece a entrar água, por que o navio afundaria?